std::atanh(std::complex)

z の複素逆双曲線正接を計算します。 分岐切断は実軸に沿って区間 [−1; +1] の外側に存在します。

引数

戻り値

エラーが発生しなければ、 z の複素逆双曲線正接を返します。 戻り値は実部が数学的に非有界で虚部が [−iπ/2; +iπ/2] の範囲内の半帯状の範囲内です。

エラー処理と特殊な値

エラーは math_errhandling と一貫性があるように報告されます。

処理系が IEEE 浮動小数点算術をサポートしている場合、

• std::atanh(std::conj(z)) == std::conj(std::atanh(z)) です。
• std::atanh(-z) == -std::atanh(z) です。
• z が (+0,+0) であれば、結果は (+0,+0) です。
• z が (+0,NaN) であれば、結果は (+0,NaN) です。
• z が (+1,+0) であれば、結果は (+∞,+0) であり、 FE_DIVBYZERO が発生します。
• z が (x,+∞) (ただし x は任意の有限な正の値) であれば、結果は (+0,π/2) です。
• z が (x,NaN) (ただし x は任意の有限な非ゼロの値) であれば、結果は (NaN,NaN) であり、 FE_INVALID が発生するかもしれません。
• z が (+∞,y) (ただし x は任意の有限な正の値) であれば、結果は (+0,π/2) です。
• z が (+∞,+∞) であれば、結果は (+0,π/2) です。
• z が (+∞,NaN) であれば、結果は (+0,NaN) です。
• z が (NaN,y) (ただし x は任意の有限な値) であれば、結果は (NaN,NaN) であり、 FE_INVALID が発生するかもしれません。
• z が (NaN,+∞) であれば、結果は (±0,π/2) (実部の符号は未規定) です。
• z が (NaN,NaN) であれば、結果は (NaN,NaN) です。

ノート

C++ 標準はこの関数に「complex arc hyperbolic tangent」と名付けていますが、双曲線関数の逆関数は面積関数です。 引数は双曲的扇形の面積であり、円弧 (arc) ではありません。 正しい名前は「complex inverse hyperbolic tangent」、あるいは、あまり一般的ではありませんが、「complex area hyperbolic tangent」です。

逆双曲線正接は多値関数であり、複素平面上に分岐切断が要求されます。 分岐切断は慣習的に実軸上の線分 (-∞,-1] および [+1,+∞) に置かれます。

逆双曲線正接の主値の数学的な定義は

です。

任意の z について、

が成り立ちます。

例

#include <iostream>
#include <complex>

int main()
{
    std::cout << std::fixed;
    std::complex<double> z1(2, 0);
    std::cout << "atanh" << z1 << " = " << std::atanh(z1) << '\n';

    std::complex<double> z2(2, -0.0);
    std::cout << "atanh" << z2 << " (the other side of the cut) = "
              << std::atanh(z2) << '\n';

    // 任意の z について atanh(z) = atanh(iz)/i
    std::complex<double> z3(1,2);
    std::complex<double> i(0,1);
    std::cout << "atanh" << z3 << " = " << std::atanh(z3) << '\n'
              << "atan" << z3*i << "/i = " << std::atan(z3*i)/i << '\n';
}

atanh(2.000000,0.000000) = (0.549306,1.570796)
atanh(2.000000,-0.000000) (the other side of the cut) = (0.549306,-1.570796)
atanh(1.000000,2.000000) = (0.173287,1.178097)
atan(-2.000000,1.000000)/i = (0.173287,1.178097)

関連項目