Pi Squared

Author

Eric W. Weisstein
September 26, 2022

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/Constants/PiSquared.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/PiSquared.html.

©2022 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Binomial WZ

(∑_n^∞)(((16^n) (n+1) (3 n+1))/(n (((2 n+1))^2) ((Binomial[2 n, n])^3)))==((π^2)/4)

bug(428324): Sum[(16^n (n + 1) (3 n + 1))/(n (2 n + 1)^2 Binomial[2 n, n]^3), {n, Infinity}] could return Pi^2/4

https://www.math.nthu.edu.tw/~amen/2022/AMEN-210618.pdf

$Version

Sum[(((16^n)(n+1)(3n+1))/(n(((2n+1))^2)((Binomial[2n,n])^3))),{n,∞}]

FullSimplify[%]

FunctionExpand[%]

N[%,10]

Pi^2/4.

BBP-Type

BasisSum[{c_,v_,exp_,coef_,pow_},k_]:=Module[{d=Most[v],gcd},
gcd=GCD@@d;
If[v[[-1]]==0,
0==Sum[Switch[exp,1,1,-1,HoldForm[(-1)^k],_,HoldForm[(1/(exp^k))]]Plus@@MapIndexed[((#1)/((coef HoldForm[k]+#2[[1]])^pow ))&,-d/gcd],{k,0,∞}],c==(gcd/(Abs[v[[-1]]]))Sum[Switch[exp,1,1,-1,HoldForm[(-1)^k],_,HoldForm[(1/(exp^k))]]Plus@@MapIndexed[((#1)/((coef HoldForm[k]+#2[[1]])^pow ))&,-Sign[v[[-1]]]d/gcd],{k,0,∞}]
]
]

(((-1))^k)

l={{{(π^2),{-12,1},-1,1,2}},{{(π^2),{0,-48,1},-1,2,2}},{{(π^2),{-13,13,-4,1},-1,3,2}},{{(π^2),{0,0,0,-192,1},-1,4,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,1},-1,5,2}},{{(π^2),{0,-52,0,52,0,-16,1},-1,6,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,7,2},{(π^2),{13,-13,13,-13,13,-13,-36,-1},-1,7,2}},{{(π^2),{0,0,0,0,0,0,0,-768,1},-1,8,2}},{{(π^2),{-13,13,-4,13,-13,4,-13,13,-4,1},-1,9,2}},{{(π^2),{0,-50,0,50,0,-50,0,50,0,0,1},-1,10,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,11,2},{(π^2),{13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,-108,-1},-1,11,2}},{{(π^2),{3,1,-25,-206,-3,-10,-2,206,-15,1,2,-80,1},-1,12,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,13,2},{(π^2),{-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,156,1},-1,13,2}},{{(π^2),{0,-49,0,49,0,-49,0,49,0,-49,0,49,0,0,1},-1,14,2}},{{(π^2),{-14,14,1,13,-1,0,-14,13,-8,1,-14,9,-13,13,-4,1},-1,15,2}},{{(π^2),{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-3072,1},-1,16,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,17,2}},{{(π^2),{0,-52,0,53,0,-18,0,52,0,-53,0,9,0,-52,0,53,0,0,1},-1,18,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,19,2},{(π^2),{-25,25,-25,25,-25,25,-25,25,-25,25,-25,25,-25,25,-25,25,-25,25,336,2},-1,19,2}},{{(π^2),{-1,1,0,-199,26,-1,0,199,-1,-24,0,-199,1,-1,0,199,-1,1,0,-24,1},-1,20,2}},{{(π^2),{-13,13,-6,13,-13,6,-1,13,-6,13,-13,6,-13,1,-6,13,-13,6,-13,13,-4,1},-1,21,2}},{{(π^2),{0,-49,0,49,0,-49,0,49,0,-49,0,49,0,-49,0,49,0,-49,0,49,0,72,1},-1,22,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,23,2},{(π^2),{13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,-516,-1},-1,23,2}},{{(π^2),{4,7,-27,-5,8,-68,-4,-843,-85,-7,-9,50,-8,5,-68,843,4,52,9,-5,44,-5,-4,-168,1},-1,24,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,25,2}},{{(π^2),{0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,1},-1,26,2}},{{(π^2),{-13,13,-4,13,-13,4,-13,13,-4,13,-13,4,-13,13,-4,13,-13,4,-13,13,-4,13,-13,4,-13,13,-4,1},-1,27,2}},{{(π^2),{-1,-1,1,-195,1,1,48,195,-1,-1,1,-195,1,50,-1,195,-1,-1,1,-195,-48,1,-1,195,-1,-1,1,-48,1},-1,28,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,29,2},{(π^2),{37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,-804,-3},-1,29,2}},{{(π^2),{1,-55,-2,55,-17,-8,0,54,-6,-6,0,8,0,-55,-8,55,-1,-7,-1,6,-6,-55,1,17,9,-55,-2,54,0,0,1},-1,30,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,31,2},{(π^2),{-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,924,3},-1,31,2}},{{(π^2),{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-12288,1},-1,32,2}},{{(π^2),{-13,13,-6,13,-13,5,-13,14,3,14,1,5,-13,14,-5,13,-13,5,-14,14,-6,-1,-13,-4,-14,13,4,13,-13,-3,-14,14,4,1},-1,33,2}},{{(π^2),{0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,1},-1,34,2}},{{(π^2),{-13,13,-13,13,4,13,4,13,-13,-4,-13,13,-13,-4,4,13,-13,13,-13,-4,4,13,-13,13,4,13,-13,-4,-13,-4,-13,13,-13,13,-12,1},-1,35,2}},{{(π^2),{-3,-1,27,-210,-3,12,3,207,1,-1,-3,-49,3,1,27,210,3,-30,-3,-207,-28,1,3,76,-3,-1,-9,-210,-3,12,3,207,28,-1,-3,-40,1},-1,36,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,37,2},{(π^2),{-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,-13,13,1356,1},-1,37,2}},{{(π^2),{0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,1},-1,38,2}},{{(π^2),{-13,13,-6,13,-13,6,-13,14,4,13,-14,5,7,13,-5,14,-13,-4,-14,13,-6,13,-13,-3,-13,-7,-5,13,-14,5,-13,14,4,14,-13,5,-14,13,4,1},-1,39,2}},{{(π^2),{5,6,-9,1,-116,-2,10,-803,-5,-156,9,-1,-9,2,215,803,5,6,-9,-24,9,-2,10,-803,-230,-6,9,-1,-9,52,-10,803,5,6,-259,1,9,-2,10,72,1},-1,40,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,41,2},{(π^2),{-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,1644,3},-1,41,2}},{{(π^2),{-1,-55,8,53,-1,0,4,53,-1,-52,-1,16,0,-6,9,55,0,2,1,55,10,-53,2,15,1,-53,17,6,-1,-27,0,53,9,-55,4,16,-2,-52,-2,53,0,0,1},-1,42,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,43,2},{(π^2),{-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,-37,37,1812,3},-1,43,2}},{{(π^2),{-1,-1,-1,-194,1,1,1,194,-1,-1,120,-194,1,1,1,194,-1,-1,-1,-194,1,122,1,194,-1,-1,-1,-194,1,1,1,194,120,-1,-1,-194,1,1,1,194,-1,-1,-1,48,1},-1,44,2}},{{(π^2),{-13,13,-8,13,-4,8,-13,13,0,4,-13,8,-13,13,-1,13,-13,0,-13,4,-8,13,-13,8,-4,13,0,13,-13,1,-13,13,-8,13,-4,0,-13,13,-8,4,-13,8,-13,13,-4,1},-1,45,2}},{{(π^2),{0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,0,48,0,-48,1},-1,46,2}},{{(π^2),{-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,12,-12,1},-1,47,2},{(π^2),{73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,73,-73,-2136,-6},-1,47,2}},{{(π^2),{17,-6,-136,-25,-16,78,23,-15,-185,-12,29,220,26,24,133,-3320,-17,-210,-17,25,-191,-24,-23,150,32,12,259,5,-26,84,11,3320,-244,-6,17,20,-16,24,-211,-15,-32,-228,29,-5,125,24,-11,-1088,1},-1,48,2}}};

BasisSum[#,k]&/@Select[Flatten[l,1],GCD@@Flatten[Position[Most[#[[2]]],_?(#!=0&)]]==1&]//ColumnForm

(2^k)

l={{(π^2),{-16,16,8,16,4,4,-2,0,1},16,8,2},{(π^2),{0,-64,0,64,0,32,0,64,0,16,0,16,0,-8,0,0,1},16,16,2},{(π^2),{0,0,-144,0,0,144,0,0,72,0,0,144,0,0,36,0,0,36,0,0,-18,0,0,0,1},16,24,2},{(π^2),{0,0,0,-256,0,0,0,256,0,0,0,128,0,0,0,256,0,0,0,64,0,0,0,64,0,0,0,-32,0,0,0,0,1},16,32,2},{(π^2),{0,0,0,0,-400,0,0,0,0,400,0,0,0,0,200,0,0,0,0,400,0,0,0,0,100,0,0,0,0,100,0,0,0,0,-50,0,0,0,0,0,1},16,40,2},{(π^2),{144,-216,-72,-54,9,0,-8},64,6,2},{(π^2),{0,-144,0,216,0,72,0,54,0,-9,0,0,2},64,12,2},{(π^2),{0,0,-1296,0,0,1944,0,0,648,0,0,486,0,0,-81,0,0,0,8},64,18,2},{(π^2),{0,0,0,-288,0,0,0,432,0,0,0,144,0,0,0,108,0,0,0,-18,0,0,0,0,1},64,24,2},{(π^2),{0,0,0,0,-3600,0,0,0,0,5400,0,0,0,0,1800,0,0,0,0,1350,0,0,0,0,-225,0,0,0,0,0,8},64,30,2},{(π^2),{0,0,0,0,0,-1296,0,0,0,0,0,1944,0,0,0,0,0,648,0,0,0,0,0,486,0,0,0,0,0,-81,0,0,0,0,0,0,2},64,36,2},{(π^2),{128,-128,-64,-128,-32,-32,16,0,8,-8,-4,-8,-2,-2,1,0,-8},256,16,2},{(π^2),{0,-128,0,128,0,64,0,128,0,32,0,32,0,-16,0,0,0,-8,0,8,0,4,0,8,0,2,0,2,0,-1,0,0,2},256,32,2},{(π^2),{-9216,13824,4608,3456,-576,0,-144,216,72,54,-9,0,512},4096,12,2},{(π^2),{2048,-2048,-1024,-2048,-512,-512,256,0,128,-128,-64,-128,-32,-32,16,0,8,-8,-4,-8,-2,-2,1,0,-128},4096,24,2},{(π^2),{0,-5120,1536,6656,0,1792,0,1152,-192,-320,0,-64,0,-80,-24,72,0,28,0,26,3,-5,0,0,64},4096,24,2},{(π^2),{0,0,82944,0,0,-124416,0,0,-41472,0,0,-31104,0,0,5184,0,0,0,0,0,1296,0,0,-1944,0,0,-648,0,0,-486,0,0,81,0,0,0,-512},4096,36,2},{(π^2),{32768,-32768,-16384,-32768,-8192,-8192,4096,0,2048,-2048,-1024,-2048,-512,-512,256,0,128,-128,-64,-128,-32,-32,16,0,8,-8,-4,-8,-2,-2,1,0,-2048},65536,32,2},{(π^2),{589824,-884736,-294912,-221184,36864,0,9216,-13824,-4608,-3456,576,0,144,-216,-72,-54,9,0,-32768},262144,18,2},{(π^2),{0,-589824,0,884736,0,294912,0,221184,0,-36864,0,0,0,-9216,0,13824,0,4608,0,3456,0,-576,0,0,0,-144,0,216,0,72,0,54,0,-9,0,0,8192},262144,36,2},{(π^2),{-524288,524288,262144,524288,131072,131072,-65536,0,-32768,32768,16384,32768,8192,8192,-4096,0,-2048,2048,1024,2048,512,512,-256,0,-128,128,64,128,32,32,-16,0,-8,8,4,8,2,2,-1,0,32768},1048576,40,2},{(π^2),{524288,-1835008,-262144,1441792,1507328,-458752,65536,-819200,32768,-114688,-16384,90112,-8192,-28672,-47104,-51200,2048,-7168,-1024,-7168,-512,-1792,256,-3200,-1472,-448,-64,352,-32,-112,16,-200,8,-28,46,22,-2,-7,1,0,-16384},1048576,40,2}};

BasisSum[#,k]&/@Select[l,GCD@@Flatten[Position[Most[#[[2]]],_?(#!=0&)]]==1&]//ColumnForm

(3^k)

ll={{{3,6},12,{3.4200000000000728` Second,{{(π^2),{486,-810,0,-162,-54,-144,-18,-18,0,-10,2,0,-27},729,12,2}}}},
{{3,6},24,{15.049999999999272` Second,{{(π^2),{0,-1944,0,3240,0,0,0,648,0,216,0,576,0,72,0,72,0,0,0,40,0,-8,0,0,27},729,24,2}}}},
{{3,6},36,{43.54999999999927` Second,{{(π^2),{0,0,486,0,0,-810,0,0,0,0,0,-162,0,0,-54,0,0,-144,0,0,-18,0,0,-18,0,0,0,0,0,-10,0,0,2,0,0,0,-3},729,36,2}}}},
{{3,12},24,{14.719999999999345` Second,{{(π^2),{-354294,590490,0,118098,39366,104976,13122,13122,0,7290,-1458,0,-486,810,0,162,54,144,18,18,0,10,-2,0,19683},531441,24,2}}}}};

l=Flatten[#[[-1,-1]]&/@ll,1]

BasisSum[#,k]&/@Select[l,GCD@@Flatten[Position[Most[#[[2]]],_?(#!=0&)]]==1&]//ColumnForm

PolyLog

(π^2)==6 (log^2)(2)+12 (Subscript[Li, 2])((1/2))

V6

FullSimplify[12PolyLog[2,(1/2)]+6((Log[2])^2)]

V7

FullSimplify[12PolyLog[2,(1/2)]+6((Log[2])^2)]

(π^2)==36 (Subscript[Li, 2])((1/2))-36 (Subscript[Li, 2])((1/4))-12 (Subscript[Li, 2])((1/8))+6 (Subscript[Li, 2])((1/64))

v5.2

FullSimplify[36PolyLog[2,(1/2)]-36PolyLog[2,(1/4)]-12PolyLog[2,(1/8)]+6PolyLog[2,(1/64)]]

FunctionExpand[%]

v6

FullSimplify[36PolyLog[2,(1/2)]-36PolyLog[2,(1/4)]-12PolyLog[2,(1/8)]+6PolyLog[2,(1/64)]]

FunctionExpand[%]

N[%]

N[(π^2)]

V7

FullSimplify[36PolyLog[2,(1/2)]-36PolyLog[2,(1/4)]-12PolyLog[2,(1/8)]+6PolyLog[2,(1/64)]]

FunctionExpand[%]